quarta-feira, 20 de maio de 2015

Espaços n-dimensionais e suas "formas"

Ciniro Nametala - Escrito na noite de 19 de Maio de 2015 em Belo Horizonte, Minas Gerais.

Imagine que você tenha um problema que precise resolver. Peço que, de preferência, não imagine um problema do tipo "como contar para minha mãe que estou grávida" ou "como me livrar das drogas". Imagine alguma coisa mais prática e simples, como por exemplo, "Se eu não sofresse qualquer interrupção quanto tempo eu levaria para assistir um filme com duas horas de duração?". A resposta é meio óbvia e por isso, espero que você tenha acertado: 2 horas!! (Caso não tenha acertado pare por aqui e volte para o seu livro de ciências humanas - brincadeira, pode continuar lendo). Bom, agora vamos representar esse problema graficamente como um ponto. Esse mostrado a seguir:

Figura 1: Representação de uma solução ótima
Perceba que o ponto é a solução pois corresponde ao único valor possível a ser escolhido como resposta para a pergunta feita. 

Agora imaginemos um segundo problema, um pouco mais complicado, algo do tipo "Estou com medo de ET e por isso estou pensando seriamente em dormir de luz acesa. Como deixo a lâmpada esta noite? Acesa ou apagada?". Bem, neste segundo problema, ultra-extremamente mais complexo, só existe uma solução: A luz acesa. Contudo, diferente do primeiro problema, existem agora duas opções a se escolher. Logo, podemos pensar já no que é chamado "Espaço de Soluções". Neste caso temos um espaço de soluções com duas opções de solução: Acesa ou Apagada. Contudo apenas uma delas é considerada a solução correta, chegamos então também ao conceito de "Solução Ótima".

Você já deve ter entendido a brincadeira. O "Espaço de Soluções" são todas as respostas possíveis para um problema, contudo, dentre todas as possíveis só uma (ou às vezes mais de uma) pode ser considerada a melhor, esta seria a "Solução Ótima". Só para não perder o costume vamos também representar graficamente o que acabamos de conversar sobre medo de ET´s:
Figura 2: Representação de espaço de soluções
Agora um terceiro problema, imagine que você é um estudante que mal tem dinheiro para cortar o cabelo e por isso paga de descolado com o cabelo grande quando na verdade é apenas pobre. O banco lhe convenceu a abrir uma conta universitária para sua mãe depositar dinheiro todo mês. E mais, você têm direito a cheque especial! Logicamente, você prioritariamente bebe o dinheiro da sua mãe durante o mês e usa o cheque especial em coisas supérfluas cortar o cabelo. Sua conta então é um problema! Qualquer valor menor que zero o leva para o cheque especial e, qualquer valor maior que zero, o deixa no azul. Neste caso, podemos dizer que a solução ótima seria estar no azul, independente do valor, ao passo que, estar no cheque especial é uma alternativa possível, contudo não podemos dizer que seria uma boa solução, independentemente também do quanto você já se afundou lá. Veja a representação gráfica que sua mãe deveria ter acesso:

Figura 3: Representação de um espaço com soluções contínuas
Pode-se ver agora que no espaço de soluções não existe mais uma opção única, algo do tipo: "Estar no azul é 5 reais" ou "Estar no cheque especial é -20 reais". Na verdade para este tipo de problema o espaço de soluções é composto de um intervalo, ou seja, qualquer valor menor ou igual a zero (cheque especial) e qualquer valor maior que zero (azul). Para problemas deste tipo dizemos que o mesmo possui "soluções contínuas" ao passo que os anteriores são ditos de "soluções discretas". Logicamente, para o problema da conta, a solução ótima corresponde a qualquer valor no intervalo maior que zero que lhe deixa no azul.

Vamos imaginar agora um problema discreto com um espaço de soluções maior, mas que só tenha uma solução ótima: "Qual o melhor clube de futebol brasileiro?". Apesar da resposta ser fácil, o espaço de soluções aqui é relativamente grande, afinal, antes de mais nada para apontar o melhor clube do futebol brasileiro, ou seja, a solução ótima, precisaríamos conhecer antes todas as soluções existentes no espaço determinando quais são todos os clubes de futebol brasileiros. Sabemos que são muitos os clubes. Entretanto, para fins didáticos, separe apenas os de Minas Gerais e São Paulo da série A, para cada um deles, atribua um número que funcionará como um código (só para não ter que escrever o nome inteiro do clube). Vamos ver isso graficamente:
Figura 4: Representação de um espaço com soluções discretas
Nosso espaço de soluções agora possui 6 alternativas, só uma é a ótima: O Galão da massa! Você poderia até escolher outra solução, mas quando a solução que encontramos não é a ótima, chamamos isto ainda de solução, contudo, não apenas "solução" mas "Solução ruim".

Espaços de soluções podem conter inúmeras soluções ruins que permitem ser escolhidas, contudo o desafio é encontrar a melhor, a solução ótima. Neste sentido, pense na resposta para o seguinte problema: "Quantas peças de louça se encontram agora em minha pia esperando para serem lavadas?". Certamente que são muitas. Mas não pense no número em si, pense no espaço de soluções. Qual o tamanho deste espaço de soluções? Bom, podemos dizer que ele variará entre o mínimo, que seria de zero peças na pia, até o máximo de peças que você possui em casa. Vamos tomar este valor máximo aqui como 100, mas tanto eu quanto você sabemos que o normal é quatro (uma colher, uma faca, um prato e um copo). Bom, então são 100 soluções possíveis para o problema, de zero a cem peças na pia. Se a quantidade correta for, por exemplo, de 30, então 30 é a solução ótima. Assim, você responderia exatamente o valor correto de peças na pia esperando para serem lavadas. Mas pense no seguinte, se você chutasse 28, 29 ou 31, 32 peças? Estaria errado? São valores muito próximos do correto! Nestes casos, dizemos que apesar de não serem a solução ótima, essas soluções são quase isso. Ou seja, as soluções que são muito próximas de ótimas, ou quase ótimas também são boas e a estas damos o nome de "vizinhança do ponto ótimo".

Muitos problemas podem admitir que você encontre uma solução vizinha à ótima e assim, mesmo não obtendo a solução ótima, se dar por satisfeito, como no caso da pia onde existem soluções aceitáveis, mas diferente no caso do time de futebol que só tem uma solução aceitável que é o Galo! Veja o gráfico:
Figura 5: Representação da vizinhança à solução ótima
OK. Você agora já domina diversos conceitos fundamentais para continuar o texto. Vamos mudar a linha de raciocínio para outra direção. Veja que todos os problemas que citei anteriormente somente abordam uma variável na composição da solução do problema. Como assim? Veja:
  • A duração do filme pode assumir UM valor apenas. Ex: [2 horas].
  • A condição da lâmpada pode assumir UM estado apenas. Ex: [apagada]
  • A sua conta pode assumir UM status apenas. Ex: [azul] mesma coisa que [maior que zero]
  • O clube de futebol pode ser apenas UM. Ex: [Galo]
  • A pia da sua casa só pode ter UMA quantidade de peças. Ex: [30]
Veja que a solução escolhida (independente de ser ruim, mais ou menos, quase ótima ou ótima) é composta de apenas UM valor, ou seja, apenas uma variável existe no conjunto que compõe a solução! Dizemos nestes casos que a solução para o problema possui apenas 1 dimensão! Entretanto é muito comum que diversos problemas assumam situações onde a resposta é composta de mais de uma dimensão, como é o caso do problema seguinte.

Assuma que você quer comprar um chuveiro para tomar banho, pois você descobriu que isso faz bem para a saúde. Você resolve que quer comprar um chuveiro que custe menos de 40 reais e que pese menos que 45 quilos. É um problema com soluções contínuas, mas para incrementar digamos que a solução ótima seria um chuveiro que tenha exatamente 20 quilos e seja distribuído gratuitamente pela prefeitura, ou seja, custe zero. Se você observar o gráfico abaixo vai ver que o espaço de soluções é todo e qualquer preço e peso existentes, as soluções vizinhas ao ponto ótimo compõe o espaço onde qualquer um dos pontos na área colorida poderiam ser tomados como aceitáveis, a solução ótima é o ponto marcado em azul e todo o restante do espaço é composto de soluções ruins, não aceitáveis, pois quebram a sua restrição de custo (menos que 40 reais) e peso (menos que 45 quilos). Veja que agora a solução do seu problema é composta de dois valores: custo e peso. Uma solução aceitável para o problema, por exemplo, seria [30,40]. Ruim seria, por exemplo, [50,55]. A solução ótima, como já dito é [0,20]. É um problema de 2 dimensões e que pode ser representado graficamente em um espaço plano:
Figura 6: Espaço de soluções de 2 dimensões
Estamos quase concluindo. Pense agora em problemas que trabalhem com 3 dimensões em suas soluções. Conseguiu imaginar algum? Segue mais um exemplo. Você poderia querer determinar em qual ponto sua panela de pressão cozinha mais rápido aquele saco de batatas que está lá na geladeira desde o último reveillon. Você então faz inúmeros testes com inúmeras panelas e percebe que, depois de voltar ao cheque especial e ser o primeiro colecionador de panelas de pressão do universo, o melhor ponto é encontrado quando a pressão da panela é 50 Pa, sua temperatura é 100ºC e a panela têm volume de 80 cm³. Ou seja, a solução encontrada é [50, 100, 80]. São 3 dimensões do espaço. Vamos também colocar isso representado graficamente:
Figura 7: Espaço de soluções de 3 dimensões
Perceba a solução ótima no espaço de soluções em azul. Ao redor da solução ótima obviamente existem inúmeros outros pontos que poderiam ser marcados. Todos eles vizinhos a solução ótima. Para este problema, poderiam por exemplo ser considerados aceitáveis, como os pontos em verde. Soluções muito afastadas da ótima seriam soluções ruins como o ponto vermelho.

Bom, dado que praticamente todos os problemas deste universo podem ser numericamente representados (Muitos discordam do que acabei de escrever. Mas estes já pararam de ler o texto lá no primeiro parágrafo quando não entenderam o "2 horas") podemos observar que as soluções são tratadas em dimensões. Falamos até aqui de 3 dimensões. Dimensões que podem ser representadas no espaço como o conhecemos. 

Mas para problemas que possuem mais que 3 dimensões? Como eles seriam representados?

Você já deve ter reparado que se seguirmos a sequencia lógica é completamente aceitável que existam problemas em que as soluções não sejam compostas de apenas 3 variáveis, mas de quantas forem necessárias. Soluções para problemas podem ser compostas de 4 dimensões, 5, 6, 100, um milhão. Quantas variáveis quaisquer estiverem envolvidas no problema. Mas a pergunta continua: E se eu quisesse representar minha solução no espaço? Como eu faria?

Antes precisamos averiguar como é composto o espaço de 3 dimensões como o conhecemos.

É seguro afirmar que o posicionamento de um ponto num espaço de soluções é variado movimentando-se este de um lado para o outro em uma reta, seja para direita ou para esquerda (chamaremos isso de eixo X). Assim representaríamos a solução no espaço de 1 dimensão (como na figura abaixo (a)). Se incluirmos mais um ponto a ser marcado no espaço, então precisaríamos adicionar uma nova reta de forma perpendicular a já existente, inserimos assim então um novo espaço que também variará para esquerda ou para direita(chamaremos isso de eixo Y). Representamos assim um espaço de 2 dimensões (como na figura abaixo (b)). A regra até aqui é a de que, cada nova dimensão precisa ser incluída de forma perpendicular as já existentes. Se formos colocar mais uma, sobra apenas a variação de cima para baixo, então adicionamos a última reta possível no espaço criando uma terceira dimensão (chamaremos isso de eixo Z)(como na figura abaixo (c)). E agora? Se resolvermos incluir uma quarta? Sabemos que ela precisa variar de um lado para o outro e tem que estar perpendicular as já existentes. Essa é a regra. Mas como fazer isso?

Figura 8: Construção de um espaço de 3 dimensões no espaço como o conhecemos
Se essa é a regra logo percebemos que, no espaço como o conhecemos, não é possível adicionar uma nova reta, ou seja, não podemos representar graficamente uma quarta dimensão no espaço se a reta precisar ser colocada perpendicularmente as outras. Muitas pessoas dizem que representar até dá, mas aí você não utilizaria o espaço em si (uma reta). Para isso você poderia por exemplo determinar que a cor do ponto no espaço seria correspondente a um valor, ou que a forma como esse ponto é representado no espaço seria corresponde a outro valor, assim seria possível representar até 5 dimensões, como figura abaixo. Fazer isso pode ser interessante para mostrar um cérebro e suas áreas, entretanto a forma e a cor do ponto não são interessantes pois visualmente são limitadas. Não é como uma régua que você bate o olho e sabe o resultado. Ademais disso, imagine então um espaço de 6 dimensões ou maior que isso, com n dimensões (n aqui quer dizer quantas dimensões você quiser). Você não poderia usar mais nada pois já gastou eixo X, eixo Y, eixo Z, cor e forma.

Figura 9: Extrapolação das dimensões espaciais para representação de dados
Os estudos mais avançados nessa área são quase sempre feitos por estatísticos, afinal, geralmente são eles que trabalham com dados mais do que ninguém. Muitos trabalhos científicos foram desenvolvidos no sentido de repensar esse problema. Diversas alternativas utilizando junções de gráficos diversos [1] e simplificação de gráficos existentes [2] são comumente observados em trabalhos por aí. Existe inclusive um trabalho muito interessante desenvolvido pelo pesquisador Herman Chernof que propõe a utilização de esquemas que simulam a face humana [3] para representar graficamente espaços e soluções n-dimensionais.

Muitas pessoas dizem que tudo que criamos advém do que já vimos em algum momento durante nossas vidas. Traduzindo, tudo que pensamos na verdade é apenas uma derivação de elementos mais simples que empregamos em conjunto para imaginar formas, cores, sentimentos, gestos e assim, tomar decisões. Se nunca vimos um espaço maior que o tridimensional então estamos sujeitos a nunca, em nenhum momento da história da humanidade, visualizar um espaço com mais dimensões que isso, apesar de, como você bem ter visto, existirem sim essas outras dimensões. Elas só não podem ser visualizadas pois somos seres que percebem apenas, fisicamente falando, 3 dimensões no espaço.
Figura 10: A lógica da visualização da quarta dimensão. Fonte: [8]
Essa verdade sobre dimensões (algo bem diferente do que você pensava ser quando assistia ao Cavaleiro de Gêmeos aplicar seu golpe fatal no Ikki de Fênix) trás a tona algumas reflexões interessantes. Uma delas é que, se você imaginar, por exemplo, que um cubo (3D) quando posto sob a luz projeta uma sombra em formato de quadrado (2D) e que, também, se você colocar um quadrado de pé sob a luz ele também projetará uma pequena parte de si como sombra, neste caso uma linha (forma 1D), logo seria razoável pensarmos que uma forma de 4 dimensões projetaria como sombra uma volume 3D, como um cubo por exemplo. Outro ponto interessante é que, se somos seres que percebem apenas 3 dimensões e, por ventura, assumirmos aqui que existem seres que conseguiriam quem sabe ver em 4 dimensões, é relevante consentir que da mesma forma que observamos formas 1D ou 2D achatadas (como as sombras), eles também nos veriam assim, achatados. Afinal estamos uma dimensão abaixo do que eles conseguiriam visualizar. O raciocínio é o mesmo ao entender que você só é gordo, pois conhece um eixo de profundidade como o Z. Nos eixos X ou Y somente, o conceito de gordo ou não existe, ou de algum modo não podemos percebê-lo. Veja que até aqui só fui até 4 dimensões. Imagine n! 
Figura 11: Sombras projetadas por figuras uni, bi e tridimensionais. Fonte: [8]
Esse jogo de pensar, como feito no caso das sombras de cada dimensão, deu origem ao conceito de Hipercubo. O Hipercubo é uma forma não imaginável fisicamente por nós. Teoricamente no hipercubo, ao realizar-se numa de suas dimensões um corte transversal, seriam obtidas formas volumétricas uniformes de 3 dimensões. Algo similar ao fato de que ao cortar um cubo o mais fino possível transversalmente, você obtêm um quadrado (pense em você cortando um pedaço de bolo bem fino). O mesmo que ocorre ao cortar transversalmente e o mais fino possível um quadrado, você obtém uma linha (pense em você cortando uma massa de macarrão esticada na mesa o mais fino possível). O Hipercubo aborda o conceito de conexões e existem vários vídeos na internet [4] que propõe formas parcialmente "visualizáveis" para ele. Recentemente uma abordagem n-dimensional de hipercubo foi explorada no filme Interestelar quando o ator principal (que esqueci o nome agora) fica preso dentro de um buraco negro. A maior viagem!!!

Concluindo, existem inúmeros experimentos e teorias que só funcionam e obtém comprovação científica pois, matematicamente, é completamente possível e viável trabalhar-se com espaços n-dimensionais. Quando pensamos em mais de 3 dimensões, diversas propriedades novas aparecem. Essas novas propriedades podem ser aplicadas para resolver problemas muito complexos, coisas complicadas ao ponto de que, em 3 dimensões o "espaço" é pouco. O mais bacana disso tudo é poder te dizer que, você não deveria se surpreender se ficar sabendo por aí, que a grande maioria dos problemas realmente interessantes e práticos envolvem muito mais que 3 dimensões. Isso é especialmente verdade quando pensamos em identificação de padrões, classificação de grupos de dados imensos, otimização, astrofísica, diagnóstico de doenças e muito mais. Matemáticos já exploram essas propriedades desde séculos atrás, basta citar Euclides e sua distância euclidiana n-dimensional, mas existem diversas outras. É tão antigo e só agora você ficou sabendo!

Para fechar, vou terminar o texto com uma frase que vi num blog perdido na internet [8], em um artigo que como este, teve por objetivo tentar encontrar a "Solução ótima" do didatismo e facilidade de entendimento de um assunto aparentemente tão complicado.

"Acredite, o seu corpo físico está confinado em um espaço de somente três dimensões, mas a sua mente, de natureza imaterial, esta não precisa ficar encarcerada nele."

Até o próximo post!

[1]http://www.cs.uml.edu/~mtrutsch/research/High-Dimensional_Visualizations-KDD2001-color.pdf
[2]http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/19398/000300210.pdf
[3]http://lya.fciencias.unam.mx/rfuentes/faces-chernoff.pdf
[4]https://www.youtube.com/watch?v=9DoSqeJNG74
[5]http://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
[6]http://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia_euclidiana
[7]http://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia_de_Mahalanobis
[8]http://www.silvestre.eng.br/astronomia/artigos/bigbang/02/

Obrigado por ler esse texto!
Grande abraço!